Topología I 2008

Tarea examen

Hola, esta es la última entrega de tarea, pero en este caso si cuenta para la calificación final.

aqui está

fue realmente un gusto este curso, espero que les vaya muy bien en este ultimo examen
;D

Tercer examen

Hoy hicimos el tercer examen, aqui está:
tercer examen

Componentes y conexidad local

1
Encuentra las componentes del conjunto de los números irracionales con la topología relativa. Tambien con los racionales.

Definición: decimos que un espacio es totalmente disconexo si sus componentes son solamente un punto

2.
Decimos que un espacio conexo X tiene un punto de explosión (o de dispersión) X \setminus \{p\} es totalmente disconexo.
Encuentra un espacio que tenga un punto de exposión y prueba que un espacio puede tener a lo mas uno. (hint: piensa en la compactación de un punto de \mathbb{Q})

Definición: se dice que un subespacio C es una componente por trayectorias si C es conexo por trayectorias y maximal con la contención, o sea, no hay otro subespacio conexo por trayectorias que lo contenga.

3.
Demuestra que en los abiertos de \mathbb{R}^n las componentes por trayectorias y las componentes, coinciden. ¿es necesaria la condición de ser abiertos?

4.
Demuestra que la conexidad local es un invariante topológico, pero que no está preservada bajo funciones continuas

3er Examen

Como habrán notado en los ultimos 3 post de tareas, los temas del examen son homeomorfismos y conexidad.

El examen será el martes 27. Suerte

Pilón de la tarea

14. Cuáles de los siguientes conjuntos de \mathbb{R}^2 son una variedad
i) \mathcal{B}_1(\bar{0})
ii) \overline{\mathcal{B}_1(\bar{0})}
iii) \mathcal{B}_2(\bar{0}) \setminus \mathcal{B}_1(\bar{0})
iv) \mathcal{B}_2(\bar{0}) \setminus \overline{\mathcal{B}_1(\bar{0})}
donde \mathcal{B}_r(\bar{0}) es la bola abierta de radio r alrededor del origen

Antes de los demás ejercicios, una definición:

Se dice que X tiene la propiedad del punto fijo si para cualquier función continua f: X\to X hay un punto x\in X tal que f(x) = x

15. Demuestra que la propiedad del punto fijo es un invariante topológico

16. Prueba que el segmento \left[0,1\right] con la topología usual y el conjunto \{0, 1 \} con la discreta no son homeomorfos

17. Demuestra que (0,1) \subset \mathbb{R} no tiene la propiedad del punto fijo, y de ahí que no es homeomorfo a \left[0,1\right]

18. Usando la invarianza topológica de la conexidad, dá otra demostración de que (0,1) no es homeomorfo a \left[0,1\right]

19. Sea \{A_\alpha \}_{\alpha \in \Gamma} una colección de subespacios conexos por trayectorias de un espacio X, tal que \displaystyle \emptyset \neq \bigcap_{\alpha \in \Gamma} A_\alpha.
Demuestra que \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \Gamma} A_\alpha es conexa por trayectorias.

20. Demuestra que cualquier espacio conexo por trayectorias es conexo.

Tarea Homeomorfa

1.- Demuestra que las siguientes funciones son continuas:
i) f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} donde f(x) = x^2
ii) f:\mathbb{R}\setminus \{0\} \to \mathbb{R} donde f(x) = \frac{1}{x}
iii) f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} donde f(x) = |x|
iv) f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} donde f(x) = ax+b, con a, b \in \mathbb{R}

2. Sea (X,d) un espacio métrico,
i) Demuestra que la función distancia
d:X\times X\to [0,\infty) es continua

ii) Sea A un subconjunto de X, y definamos f_A : X \to [0,\infty) como
\displaystyle f_A (x) = \inf_{y\in A} \{d(x, y)\}. Demuestre que esa función es continua

3. Demuestra que los homeomorfismos son funciones abiertas y tambien que son cerradas

4. ¿Cualquiér función continua, biyectiva y abierta (o cerrada) es un homeomorfismo?

5. Demuestra que si \displaystyle X = \prod_{i=1}^n X_i tiene la topología producto, entonces las funciones proyección \pi_k : X \to X_k son abiertas.

6. Prueba que dos métricas d, d' en el mismo espacio X son equivalentes si y solo si la funcion identidad 1_X : (X,d) \to (X, d') es un homeomorfismo.

7. Demuestre que las siguientes propiedades son invariantes topológicos:
i) T_2
ii) Primero numerable.
iii) Segundo numerable.

y que \mathbb{R} con la topología usual no es homeomeorfo a el mismo con la cofinita.

8. Demuestre que (0,1) y \mathbb{R} son homeomorfos.

Tarea de conexidad

9. Demostrar que X es conexo si y solo si no contiene a ningun subconjunto propio no vacío que sea abierto y cerrado a la vez.

10. Sea A un subespacio de X. Pruebe que A es disconexo si y solo si existen subconjuntos cerrados C_1 y C_2 de X tales que
i A \subset C_1\cup C_2 .
ii C_1 \cap C_2 = \emptyset .
iii A\cap C_1 \neq \emptyset \neq A\cap C_2 .

11. Demostrar que si (U,V) es una separación de X y C es un subconjunto conexo de X entonces C \subset U o bien C \subset V

12. Demostrar que \mathbb{R} es conexo

13. Sea \{A_\alpha \}_{\alpha \in \Gamma} una colección de subespacios conexos del espacio X y B\subset X otro conexo. Demostrar que si para cada \alpha \in \Gamma tenemos que \emptyset \neq B \cap A_\alpha entonces \displaystyle B \cup \left( \bigcup_{\alpha \in \Gamma} A_\alpha \right) tambien es conexo